$$$e^{\frac{t}{2}}$$$ 的积分

求$$$\int e^{\frac{t}{2}}\, dt$$$。

设$$$u=\frac{t}{2}$$$。

则$$$du=\left(\frac{t}{2}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{2}$$$ (步骤见»)，并有$$$dt = 2 du$$$。

积分变为

$${\color{red}{\int{e^{\frac{t}{2}} d t}}} = {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}}$$

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=\frac{t}{2}$$$:

$$2 e^{{\color{red}{u}}} = 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{t}{2}\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{t}{2}} d t} = 2 e^{\frac{t}{2}}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{\frac{t}{2}} d t} = 2 e^{\frac{t}{2}}+C$$

$$$\int e^{\frac{t}{2}}\, dt = 2 e^{\frac{t}{2}} + C$$$A