$$$e^{a x}$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int e^{a x}\, dx$$$。

设$$$u=a x$$$。

则$$$du=\left(a x\right)^{\prime }dx = a dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{a}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{a x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{a} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{a}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{a} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{a}}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{a} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{a}$$

回忆一下 $$$u=a x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{a} = \frac{e^{{\color{red}{a x}}}}{a}$$

因此，

$$\int{e^{a x} d x} = \frac{e^{a x}}{a}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{a x} d x} = \frac{e^{a x}}{a}+C$$

$$$\int e^{a x}\, dx = \frac{e^{a x}}{a} + C$$$A