$$$e^{5 t}$$$ 的积分

求$$$\int e^{5 t}\, dt$$$。

设$$$u=5 t$$$。

则$$$du=\left(5 t\right)^{\prime }dt = 5 dt$$$ (步骤见»)，并有$$$dt = \frac{du}{5}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{5 t} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{5} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{5}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{5} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

回忆一下 $$$u=5 t$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{5} = \frac{e^{{\color{red}{\left(5 t\right)}}}}{5}$$

因此，

$$\int{e^{5 t} d t} = \frac{e^{5 t}}{5}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{5 t} d t} = \frac{e^{5 t}}{5}+C$$

$$$\int e^{5 t}\, dt = \frac{e^{5 t}}{5} + C$$$A