$$$e^{- \frac{3 x}{4}}$$$ 的积分

求$$$\int e^{- \frac{3 x}{4}}\, dx$$$。

设$$$u=- \frac{3 x}{4}$$$。

则$$$du=\left(- \frac{3 x}{4}\right)^{\prime }dx = - \frac{3 dx}{4}$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = - \frac{4 du}{3}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{4 e^{u}}{3}\right)d u}}}$$

对 $$$c=- \frac{4}{3}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{4 e^{u}}{3}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{4 \int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{4 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = - \frac{4 {\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

回忆一下 $$$u=- \frac{3 x}{4}$$$:

$$- \frac{4 e^{{\color{red}{u}}}}{3} = - \frac{4 e^{{\color{red}{\left(- \frac{3 x}{4}\right)}}}}{3}$$

因此，

$$\int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x} = - \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x} = - \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}+C$$

$$$\int e^{- \frac{3 x}{4}}\, dx = - \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} + C$$$A