$$$e^{- 3 x}$$$ 的积分

求$$$\int e^{- 3 x}\, dx$$$。

设$$$u=- 3 x$$$。

则$$$du=\left(- 3 x\right)^{\prime }dx = - 3 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = - \frac{du}{3}$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{e^{- 3 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{3}\right)d u}}}$$

对 $$$c=- \frac{1}{3}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{3}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

回忆一下 $$$u=- 3 x$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{3} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 3 x\right)}}}}{3}$$

因此，

$$\int{e^{- 3 x} d x} = - \frac{e^{- 3 x}}{3}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{- 3 x} d x} = - \frac{e^{- 3 x}}{3}+C$$

$$$\int e^{- 3 x}\, dx = - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$$$A