$$$\cos{\left(\frac{t}{a} \right)}$$$ 关于$$$t$$$的积分

求$$$\int \cos{\left(\frac{t}{a} \right)}\, dt$$$。

设$$$u=\frac{t}{a}$$$。

则$$$du=\left(\frac{t}{a}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{a}$$$ (步骤见»)，并有$$$dt = a du$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{t}{a} \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{a \cos{\left(u \right)} d u}}}$$

对 $$$c=a$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{a \cos{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{a \int{\cos{\left(u \right)} d u}}}$$

余弦函数的积分为 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$a {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = a {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

回忆一下 $$$u=\frac{t}{a}$$$:

$$a \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = a \sin{\left({\color{red}{\frac{t}{a}}} \right)}$$

因此，

$$\int{\cos{\left(\frac{t}{a} \right)} d t} = a \sin{\left(\frac{t}{a} \right)}$$

加上积分常数：

$$\int{\cos{\left(\frac{t}{a} \right)} d t} = a \sin{\left(\frac{t}{a} \right)}+C$$

$$$\int \cos{\left(\frac{t}{a} \right)}\, dt = a \sin{\left(\frac{t}{a} \right)} + C$$$A