$$$5 \ln\left(t^{2}\right)$$$ 的积分

求$$$\int 5 \ln\left(t^{2}\right)\, dt$$$。

输入已重写为：$$$\int{5 \ln{\left(t^{2} \right)} d t}=\int{10 \ln{\left(t \right)} d t}$$$。

对 $$$c=10$$$ 和 $$$f{\left(t \right)} = \ln{\left(t \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$：

$${\color{red}{\int{10 \ln{\left(t \right)} d t}}} = {\color{red}{\left(10 \int{\ln{\left(t \right)} d t}\right)}}$$

对于积分$$$\int{\ln{\left(t \right)} d t}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(t \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=dt$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt=\frac{dt}{t}$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d t}=t$$$ (步骤见 »)。

积分变为

$$10 {\color{red}{\int{\ln{\left(t \right)} d t}}}=10 {\color{red}{\left(\ln{\left(t \right)} \cdot t-\int{t \cdot \frac{1}{t} d t}\right)}}=10 {\color{red}{\left(t \ln{\left(t \right)} - \int{1 d t}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dt = c t$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$10 t \ln{\left(t \right)} - 10 {\color{red}{\int{1 d t}}} = 10 t \ln{\left(t \right)} - 10 {\color{red}{t}}$$

因此，

$$\int{10 \ln{\left(t \right)} d t} = 10 t \ln{\left(t \right)} - 10 t$$

化简：

$$\int{10 \ln{\left(t \right)} d t} = 10 t \left(\ln{\left(t \right)} - 1\right)$$

加上积分常数：

$$\int{10 \ln{\left(t \right)} d t} = 10 t \left(\ln{\left(t \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int 5 \ln\left(t^{2}\right)\, dt = 10 t \left(\ln\left(t\right) - 1\right) + C$$$A