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$$$4 x^{3} - x$$$ 的积分
您的输入
求$$$\int \left(4 x^{3} - x\right)\, dx$$$。
解答
逐项积分：
$${\color{red}{\int{\left(4 x^{3} - x\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{x d x} + \int{4 x^{3} d x}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：
$$\int{4 x^{3} d x} - {\color{red}{\int{x d x}}}=\int{4 x^{3} d x} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\int{4 x^{3} d x} - {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$
对 $$$c=4$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：
$$- \frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{\int{4 x^{3} d x}}} = - \frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{\left(4 \int{x^{3} d x}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=3$$$：
$$- \frac{x^{2}}{2} + 4 {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=- \frac{x^{2}}{2} + 4 {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=- \frac{x^{2}}{2} + 4 {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$
因此，
$$\int{\left(4 x^{3} - x\right)d x} = x^{4} - \frac{x^{2}}{2}$$
加上积分常数：
$$\int{\left(4 x^{3} - x\right)d x} = x^{4} - \frac{x^{2}}{2}+C$$
答案
$$$\int \left(4 x^{3} - x\right)\, dx = \left(x^{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) + C$$$A