$$$- 4 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x$$$ 的积分

求$$$\int \left(- 4 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x\right)\, dx$$$。

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(- 4 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{3 x d x} - \int{3 x^{2} d x} - \int{4 x^{3} d x}\right)}}$$

对 $$$c=4$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$- \int{3 x d x} - \int{3 x^{2} d x} - {\color{red}{\int{4 x^{3} d x}}} = - \int{3 x d x} - \int{3 x^{2} d x} - {\color{red}{\left(4 \int{x^{3} d x}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=3$$$：

$$- \int{3 x d x} - \int{3 x^{2} d x} - 4 {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=- \int{3 x d x} - \int{3 x^{2} d x} - 4 {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=- \int{3 x d x} - \int{3 x^{2} d x} - 4 {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$

对 $$$c=3$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$- x^{4} - \int{3 x^{2} d x} - {\color{red}{\int{3 x d x}}} = - x^{4} - \int{3 x^{2} d x} - {\color{red}{\left(3 \int{x d x}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：

$$- x^{4} - \int{3 x^{2} d x} - 3 {\color{red}{\int{x d x}}}=- x^{4} - \int{3 x^{2} d x} - 3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- x^{4} - \int{3 x^{2} d x} - 3 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

对 $$$c=3$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$- x^{4} - \frac{3 x^{2}}{2} - {\color{red}{\int{3 x^{2} d x}}} = - x^{4} - \frac{3 x^{2}}{2} - {\color{red}{\left(3 \int{x^{2} d x}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=2$$$：

$$- x^{4} - \frac{3 x^{2}}{2} - 3 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=- x^{4} - \frac{3 x^{2}}{2} - 3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- x^{4} - \frac{3 x^{2}}{2} - 3 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

因此，

$$\int{\left(- 4 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x\right)d x} = - x^{4} - x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2}$$

化简：

$$\int{\left(- 4 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x\right)d x} = - x^{2} \left(x^{2} + x + \frac{3}{2}\right)$$

加上积分常数：

$$\int{\left(- 4 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x\right)d x} = - x^{2} \left(x^{2} + x + \frac{3}{2}\right)+C$$

$$$\int \left(- 4 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x\right)\, dx = - x^{2} \left(x^{2} + x + \frac{3}{2}\right) + C$$$A