$$$2 - e^{\frac{x}{2}}$$$ 的积分

求$$$\int \left(2 - e^{\frac{x}{2}}\right)\, dx$$$。

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(2 - e^{\frac{x}{2}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{2 d x} - \int{e^{\frac{x}{2}} d x}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=2$$$：

$$- \int{e^{\frac{x}{2}} d x} + {\color{red}{\int{2 d x}}} = - \int{e^{\frac{x}{2}} d x} + {\color{red}{\left(2 x\right)}}$$

设$$$u=\frac{x}{2}$$$。

则$$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = 2 du$$$。

因此，

$$2 x - {\color{red}{\int{e^{\frac{x}{2}} d x}}} = 2 x - {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}}$$

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$2 x - {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}} = 2 x - {\color{red}{\left(2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$2 x - 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2 x - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=\frac{x}{2}$$$:

$$2 x - 2 e^{{\color{red}{u}}} = 2 x - 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}}}$$

因此，

$$\int{\left(2 - e^{\frac{x}{2}}\right)d x} = 2 x - 2 e^{\frac{x}{2}}$$

化简：

$$\int{\left(2 - e^{\frac{x}{2}}\right)d x} = 2 \left(x - e^{\frac{x}{2}}\right)$$

加上积分常数：

$$\int{\left(2 - e^{\frac{x}{2}}\right)d x} = 2 \left(x - e^{\frac{x}{2}}\right)+C$$

$$$\int \left(2 - e^{\frac{x}{2}}\right)\, dx = 2 \left(x - e^{\frac{x}{2}}\right) + C$$$A