$$$\frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 2}}$$$ 的积分
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求$$$\int \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 2}}\, dx$$$。
解答
分母有理化:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 2}\right)d x}}}$$
逐项积分：
$${\color{red}{\int{\left(- \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\sqrt{x + 1} d x} + \int{\sqrt{x + 2} d x}\right)}}$$
设$$$u=x + 2$$$。
则$$$du=\left(x + 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = du$$$。
所以，
$$- \int{\sqrt{x + 1} d x} + {\color{red}{\int{\sqrt{x + 2} d x}}} = - \int{\sqrt{x + 1} d x} + {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}$$
应用幂法则 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=\frac{1}{2}$$$：
$$- \int{\sqrt{x + 1} d x} + {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}=- \int{\sqrt{x + 1} d x} + {\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}=- \int{\sqrt{x + 1} d x} + {\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}=- \int{\sqrt{x + 1} d x} + {\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$
回忆一下 $$$u=x + 2$$$:
$$- \int{\sqrt{x + 1} d x} + \frac{2 {\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}}}{3} = - \int{\sqrt{x + 1} d x} + \frac{2 {\color{red}{\left(x + 2\right)}}^{\frac{3}{2}}}{3}$$
设$$$u=x + 1$$$。
则$$$du=\left(x + 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = du$$$。
所以，
$$\frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - {\color{red}{\int{\sqrt{x + 1} d x}}} = \frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}$$
应用幂法则 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=\frac{1}{2}$$$：
$$\frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}=\frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - {\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}=\frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - {\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}=\frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - {\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$
回忆一下 $$$u=x + 1$$$:
$$\frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {\color{red}{\left(x + 1\right)}}^{\frac{3}{2}}}{3}$$
因此，
$$\int{\frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 2}} d x} = - \frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$
加上积分常数：
$$\int{\frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 2}} d x} = - \frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+C$$
答案
$$$\int \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 2}}\, dx = \left(- \frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}\right) + C$$$A