$$$\frac{1}{\cos{\left(3 x \right)} + 1}$$$ 的积分
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求$$$\int \frac{1}{\cos{\left(3 x \right)} + 1}\, dx$$$。
解答
设$$$u=3 x$$$。
则$$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{3}$$$。
所以，
$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(3 x \right)} + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{3 \left(\cos{\left(u \right)} + 1\right)} d u}}}$$
对 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos{\left(u \right)} + 1}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{1}{3 \left(\cos{\left(u \right)} + 1\right)} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)} + 1} d u}}{3}\right)}}$$
使用二倍角公式 $$$\cos\left( u \right)=2\cos^2\left(\frac{ u }{2}\right)-1$$$ 重写余弦并化简:
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)} + 1} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)}} d u}}}}{3}$$
设$$$v=\frac{u}{2}$$$。
则$$$dv=\left(\frac{u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{du}{2}$$$ (步骤见»)，并有$$$du = 2 dv$$$。
因此，
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)}} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(v \right)}} d v}}}}{3}$$
用正割表示被积函数:
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(v \right)}} d v}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(v \right)} d v}}}}{3}$$
$$$\sec^{2}{\left(v \right)}$$$ 的积分为 $$$\int{\sec^{2}{\left(v \right)} d v} = \tan{\left(v \right)}$$$:
$$\frac{{\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(v \right)} d v}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\tan{\left(v \right)}}}}{3}$$
回忆一下 $$$v=\frac{u}{2}$$$:
$$\frac{\tan{\left({\color{red}{v}} \right)}}{3} = \frac{\tan{\left({\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}} \right)}}{3}$$
回忆一下 $$$u=3 x$$$:
$$\frac{\tan{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}{3} = \frac{\tan{\left(\frac{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}{2} \right)}}{3}$$
因此，
$$\int{\frac{1}{\cos{\left(3 x \right)} + 1} d x} = \frac{\tan{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{3}$$
加上积分常数：
$$\int{\frac{1}{\cos{\left(3 x \right)} + 1} d x} = \frac{\tan{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{3}+C$$
答案
$$$\int \frac{1}{\cos{\left(3 x \right)} + 1}\, dx = \frac{\tan{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{3} + C$$$A