$$$\ln\left(z^{2}\right)$$$ 的积分

求$$$\int \ln\left(z^{2}\right)\, dz$$$。

输入已重写为：$$$\int{\ln{\left(z^{2} \right)} d z}=\int{2 \ln{\left(z \right)} d z}$$$。

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(z \right)} = \ln{\left(z \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$：

$${\color{red}{\int{2 \ln{\left(z \right)} d z}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(z \right)} d z}\right)}}$$

对于积分$$$\int{\ln{\left(z \right)} d z}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(z \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=dz$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(z \right)}\right)^{\prime }dz=\frac{dz}{z}$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d z}=z$$$ (步骤见 »)。

因此，

$$2 {\color{red}{\int{\ln{\left(z \right)} d z}}}=2 {\color{red}{\left(\ln{\left(z \right)} \cdot z-\int{z \cdot \frac{1}{z} d z}\right)}}=2 {\color{red}{\left(z \ln{\left(z \right)} - \int{1 d z}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dz = c z$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$2 z \ln{\left(z \right)} - 2 {\color{red}{\int{1 d z}}} = 2 z \ln{\left(z \right)} - 2 {\color{red}{z}}$$

因此，

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \ln{\left(z \right)} - 2 z$$

化简：

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \left(\ln{\left(z \right)} - 1\right)$$

加上积分常数：

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \left(\ln{\left(z \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(z^{2}\right)\, dz = 2 z \left(\ln\left(z\right) - 1\right) + C$$$A