$$$y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}}$$$ 的积分
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求$$$\int y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}}\, dy$$$。
解答
设$$$u=y^{2}$$$。
则$$$du=\left(y^{2}\right)^{\prime }dy = 2 y dy$$$ (步骤见»)，并有$$$y dy = \frac{du}{2}$$$。
积分变为
$${\color{red}{\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{u e^{\frac{u}{2}}}{2} d u}}}$$
对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = u e^{\frac{u}{2}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{u e^{\frac{u}{2}}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u e^{\frac{u}{2}} d u}}{2}\right)}}$$
对于积分$$$\int{u e^{\frac{u}{2}} d u}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{\mu} \operatorname{dv} = \operatorname{\mu}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\mu}$$$。
设 $$$\operatorname{\mu}=u$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{\frac{u}{2}} du$$$。
则 $$$\operatorname{d\mu}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{\frac{u}{2}} d u}=2 e^{\frac{u}{2}}$$$ (步骤见 »)。
该积分可以改写为
$$\frac{{\color{red}{\int{u e^{\frac{u}{2}} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u \cdot 2 e^{\frac{u}{2}}-\int{2 e^{\frac{u}{2}} \cdot 1 d u}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(2 u e^{\frac{u}{2}} - \int{2 e^{\frac{u}{2}} d u}\right)}}}{2}$$
对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$$u e^{\frac{u}{2}} - \frac{{\color{red}{\int{2 e^{\frac{u}{2}} d u}}}}{2} = u e^{\frac{u}{2}} - \frac{{\color{red}{\left(2 \int{e^{\frac{u}{2}} d u}\right)}}}{2}$$
设$$$v=\frac{u}{2}$$$。
则$$$dv=\left(\frac{u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{du}{2}$$$ (步骤见»)，并有$$$du = 2 dv$$$。
该积分可以改写为
$$u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\int{e^{\frac{u}{2}} d u}}} = u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}}$$
对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$：
$$u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}} = u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\left(2 \int{e^{v} d v}\right)}}$$
指数函数的积分为 $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$：
$$u e^{\frac{u}{2}} - 2 {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = u e^{\frac{u}{2}} - 2 {\color{red}{e^{v}}}$$
回忆一下 $$$v=\frac{u}{2}$$$:
$$u e^{\frac{u}{2}} - 2 e^{{\color{red}{v}}} = u e^{\frac{u}{2}} - 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}}$$
回忆一下 $$$u=y^{2}$$$:
$$- 2 e^{\frac{{\color{red}{u}}}{2}} + {\color{red}{u}} e^{\frac{{\color{red}{u}}}{2}} = - 2 e^{\frac{{\color{red}{y^{2}}}}{2}} + {\color{red}{y^{2}}} e^{\frac{{\color{red}{y^{2}}}}{2}}$$
因此，
$$\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y} = y^{2} e^{\frac{y^{2}}{2}} - 2 e^{\frac{y^{2}}{2}}$$
化简：
$$\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y} = \left(y^{2} - 2\right) e^{\frac{y^{2}}{2}}$$
加上积分常数：
$$\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y} = \left(y^{2} - 2\right) e^{\frac{y^{2}}{2}}+C$$
答案
$$$\int y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}}\, dy = \left(y^{2} - 2\right) e^{\frac{y^{2}}{2}} + C$$$A