$$$x^{2} - 6 x + 13$$$ 的积分

求$$$\int \left(x^{2} - 6 x + 13\right)\, dx$$$。

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(x^{2} - 6 x + 13\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{13 d x} - \int{6 x d x} + \int{x^{2} d x}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=13$$$：

$$- \int{6 x d x} + \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\int{13 d x}}} = - \int{6 x d x} + \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\left(13 x\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=2$$$：

$$13 x - \int{6 x d x} + {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=13 x - \int{6 x d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=13 x - \int{6 x d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

对 $$$c=6$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$\frac{x^{3}}{3} + 13 x - {\color{red}{\int{6 x d x}}} = \frac{x^{3}}{3} + 13 x - {\color{red}{\left(6 \int{x d x}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：

$$\frac{x^{3}}{3} + 13 x - 6 {\color{red}{\int{x d x}}}=\frac{x^{3}}{3} + 13 x - 6 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\frac{x^{3}}{3} + 13 x - 6 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

因此，

$$\int{\left(x^{2} - 6 x + 13\right)d x} = \frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} + 13 x$$

化简：

$$\int{\left(x^{2} - 6 x + 13\right)d x} = \frac{x \left(x^{2} - 9 x + 39\right)}{3}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(x^{2} - 6 x + 13\right)d x} = \frac{x \left(x^{2} - 9 x + 39\right)}{3}+C$$

$$$\int \left(x^{2} - 6 x + 13\right)\, dx = \frac{x \left(x^{2} - 9 x + 39\right)}{3} + C$$$A