$$$x + y^{2}$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int \left(x + y^{2}\right)\, dx$$$。

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(x + y^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{x d x} + \int{y^{2} d x}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：

$$\int{y^{2} d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=\int{y^{2} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\int{y^{2} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=y^{2}$$$：

$$\frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{\int{y^{2} d x}}} = \frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{x y^{2}}}$$

因此，

$$\int{\left(x + y^{2}\right)d x} = \frac{x^{2}}{2} + x y^{2}$$

化简：

$$\int{\left(x + y^{2}\right)d x} = \frac{x \left(x + 2 y^{2}\right)}{2}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(x + y^{2}\right)d x} = \frac{x \left(x + 2 y^{2}\right)}{2}+C$$

$$$\int \left(x + y^{2}\right)\, dx = \frac{x \left(x + 2 y^{2}\right)}{2} + C$$$A