$$$x e^{3 x}$$$ 的积分
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求$$$\int x e^{3 x}\, dx$$$。
解答
对于积分$$$\int{x e^{3 x} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。
设 $$$\operatorname{u}=x$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{3 x} dx$$$。
则 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{3 x} d x}=\frac{e^{3 x}}{3}$$$ (步骤见 »)。
因此，
$${\color{red}{\int{x e^{3 x} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot \frac{e^{3 x}}{3}-\int{\frac{e^{3 x}}{3} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{x e^{3 x}}{3} - \int{\frac{e^{3 x}}{3} d x}\right)}}$$
对 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{3 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：
$$\frac{x e^{3 x}}{3} - {\color{red}{\int{\frac{e^{3 x}}{3} d x}}} = \frac{x e^{3 x}}{3} - {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{3 x} d x}}{3}\right)}}$$
设$$$u=3 x$$$。
则$$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{3}$$$。
该积分可以改写为
$$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{{\color{red}{\int{e^{3 x} d x}}}}{3} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}}{3}$$
对 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}}{3} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}}{3}$$
指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：
$$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{9} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{9}$$
回忆一下 $$$u=3 x$$$:
$$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{9} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}}{9}$$
因此，
$$\int{x e^{3 x} d x} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}$$
化简：
$$\int{x e^{3 x} d x} = \frac{\left(3 x - 1\right) e^{3 x}}{9}$$
加上积分常数：
$$\int{x e^{3 x} d x} = \frac{\left(3 x - 1\right) e^{3 x}}{9}+C$$
答案
$$$\int x e^{3 x}\, dx = \frac{\left(3 x - 1\right) e^{3 x}}{9} + C$$$A