$$$x^{5} e^{- x^{2}}$$$ 的积分
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求$$$\int x^{5} e^{- x^{2}}\, dx$$$。
解答
设$$$u=- x^{2}$$$。
则$$$du=\left(- x^{2}\right)^{\prime }dx = - 2 x dx$$$ (步骤见»)，并有$$$x dx = - \frac{du}{2}$$$。
该积分可以改写为
$${\color{red}{\int{x^{5} e^{- x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{u^{2} e^{u}}{2}\right)d u}}}$$
对 $$$c=- \frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = u^{2} e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$${\color{red}{\int{\left(- \frac{u^{2} e^{u}}{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{u^{2} e^{u} d u}}{2}\right)}}$$
对于积分$$$\int{u^{2} e^{u} d u}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$。
设 $$$\operatorname{g}=u^{2}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$。
则 $$$\operatorname{dg}=\left(u^{2}\right)^{\prime }du=2 u du$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$ (步骤见 »)。
所以，
$$- \frac{{\color{red}{\int{u^{2} e^{u} d u}}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\left(u^{2} \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 2 u d u}\right)}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\left(u^{2} e^{u} - \int{2 u e^{u} d u}\right)}}}{2}$$
对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$$- \frac{u^{2} e^{u}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{2 u e^{u} d u}}}}{2} = - \frac{u^{2} e^{u}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(2 \int{u e^{u} d u}\right)}}}{2}$$
对于积分$$$\int{u e^{u} d u}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$。
设 $$$\operatorname{g}=u$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$。
则 $$$\operatorname{dg}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$ (步骤见 »)。
该积分可以改写为
$$- \frac{u^{2} e^{u}}{2} + {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}=- \frac{u^{2} e^{u}}{2} + {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}=- \frac{u^{2} e^{u}}{2} + {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$
指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：
$$- \frac{u^{2} e^{u}}{2} + u e^{u} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - \frac{u^{2} e^{u}}{2} + u e^{u} - {\color{red}{e^{u}}}$$
回忆一下 $$$u=- x^{2}$$$:
$$- e^{{\color{red}{u}}} + {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} - \frac{{\color{red}{u}}^{2} e^{{\color{red}{u}}}}{2} = - e^{{\color{red}{\left(- x^{2}\right)}}} + {\color{red}{\left(- x^{2}\right)}} e^{{\color{red}{\left(- x^{2}\right)}}} - \frac{{\color{red}{\left(- x^{2}\right)}}^{2} e^{{\color{red}{\left(- x^{2}\right)}}}}{2}$$
因此，
$$\int{x^{5} e^{- x^{2}} d x} = - \frac{x^{4} e^{- x^{2}}}{2} - x^{2} e^{- x^{2}} - e^{- x^{2}}$$
化简：
$$\int{x^{5} e^{- x^{2}} d x} = \left(- \frac{x^{4}}{2} - x^{2} - 1\right) e^{- x^{2}}$$
加上积分常数：
$$\int{x^{5} e^{- x^{2}} d x} = \left(- \frac{x^{4}}{2} - x^{2} - 1\right) e^{- x^{2}}+C$$
答案
$$$\int x^{5} e^{- x^{2}}\, dx = \left(- \frac{x^{4}}{2} - x^{2} - 1\right) e^{- x^{2}} + C$$$A