$$$x^{4} \sqrt{1 - x^{4}}$$$ 的积分
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求$$$\int x^{4} \sqrt{1 - x^{4}}\, dx$$$。
解答
该积分没有闭式表达式：
$${\color{red}{\int{x^{4} \sqrt{1 - x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{x^{5} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} - \frac{1}{2}, \frac{5}{4} \\ \frac{9}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4}} \right)}}{5}\right)}}$$
因此，
$$\int{x^{4} \sqrt{1 - x^{4}} d x} = \frac{x^{5} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} - \frac{1}{2}, \frac{5}{4} \\ \frac{9}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4}} \right)}}{5}$$
加上积分常数：
$$\int{x^{4} \sqrt{1 - x^{4}} d x} = \frac{x^{5} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} - \frac{1}{2}, \frac{5}{4} \\ \frac{9}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4}} \right)}}{5}+C$$
答案
$$$\int x^{4} \sqrt{1 - x^{4}}\, dx = \frac{x^{5} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} - \frac{1}{2}, \frac{5}{4} \\ \frac{9}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4}} \right)}}{5} + C$$$A