$$$x^{2} e^{- 3 x}$$$ 的积分
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求$$$\int x^{2} e^{- 3 x}\, dx$$$。
解答
对于积分$$$\int{x^{2} e^{- 3 x} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。
设 $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{- 3 x} dx$$$。
则 $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 3 x} d x}=- \frac{e^{- 3 x}}{3}$$$ (步骤见 »)。
积分变为
$${\color{red}{\int{x^{2} e^{- 3 x} d x}}}={\color{red}{\left(x^{2} \cdot \left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right) \cdot 2 x d x}\right)}}={\color{red}{\left(- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \int{\left(- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3}\right)d x}\right)}}$$
对 $$$c=- \frac{2}{3}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x e^{- 3 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：
$$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3}\right)d x}}} = - \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - {\color{red}{\left(- \frac{2 \int{x e^{- 3 x} d x}}{3}\right)}}$$
对于积分$$$\int{x e^{- 3 x} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。
设 $$$\operatorname{u}=x$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{- 3 x} dx$$$。
则 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 3 x} d x}=- \frac{e^{- 3 x}}{3}$$$ (步骤见 »)。
因此，
$$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\int{x e^{- 3 x} d x}}}}{3}=- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\left(x \cdot \left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right) \cdot 1 d x}\right)}}}{3}=- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\left(- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int{\left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right)d x}\right)}}}{3}$$
对 $$$c=- \frac{1}{3}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{- 3 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：
$$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} - \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right)d x}}}}{3} = - \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} - \frac{2 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{- 3 x} d x}}{3}\right)}}}{3}$$
设$$$u=- 3 x$$$。
则$$$du=\left(- 3 x\right)^{\prime }dx = - 3 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = - \frac{du}{3}$$$。
该积分可以改写为
$$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{e^{- 3 x} d x}}}}{9} = - \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{3}\right)d u}}}}{9}$$
对 $$$c=- \frac{1}{3}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{3}\right)d u}}}}{9} = - \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}}{9}$$
指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：
$$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} - \frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{27} = - \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} - \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{27}$$
回忆一下 $$$u=- 3 x$$$:
$$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} - \frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{27} = - \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} - \frac{2 e^{{\color{red}{\left(- 3 x\right)}}}}{27}$$
因此，
$$\int{x^{2} e^{- 3 x} d x} = - \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 x e^{- 3 x}}{9} - \frac{2 e^{- 3 x}}{27}$$
化简：
$$\int{x^{2} e^{- 3 x} d x} = \frac{\left(- 9 x^{2} - 6 x - 2\right) e^{- 3 x}}{27}$$
加上积分常数：
$$\int{x^{2} e^{- 3 x} d x} = \frac{\left(- 9 x^{2} - 6 x - 2\right) e^{- 3 x}}{27}+C$$
答案
$$$\int x^{2} e^{- 3 x}\, dx = \frac{\left(- 9 x^{2} - 6 x - 2\right) e^{- 3 x}}{27} + C$$$A