$$$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}\, dx$$$。

设$$$u=\frac{1}{x}$$$。

则$$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$。

积分变为

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- u e^{u}\right)d u}}}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- u e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u e^{u} d u}\right)}}$$

对于积分$$$\int{u e^{u} d u}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{p} \operatorname{dv} = \operatorname{p}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dp}$$$。

设 $$$\operatorname{p}=u$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$。

则 $$$\operatorname{dp}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$ (步骤见 »)。

因此，

$$- {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}=- {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- u e^{u} + {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - u e^{u} + {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=\frac{1}{x}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} - {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\frac{1}{x}}}} - {\color{red}{\frac{1}{x}}} e^{{\color{red}{\frac{1}{x}}}}$$

因此，

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x} = e^{\frac{1}{x}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$$

化简：

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x} = \frac{\left(x - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x} = \frac{\left(x - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x}+C$$

$$$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}\, dx = \frac{\left(x - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x} + C$$$A