$$$\frac{x e^{x^{2}}}{3}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{x e^{x^{2}}}{3}\, dx$$$。

设$$$u=x^{2}$$$。

则$$$du=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (步骤见»)，并有$$$x dx = \frac{du}{2}$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{\frac{x e^{x^{2}}}{3} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{6} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{6}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{6} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{6}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{6} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{6}$$

回忆一下 $$$u=x^{2}$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{6} = \frac{e^{{\color{red}{x^{2}}}}}{6}$$

因此，

$$\int{\frac{x e^{x^{2}}}{3} d x} = \frac{e^{x^{2}}}{6}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{x e^{x^{2}}}{3} d x} = \frac{e^{x^{2}}}{6}+C$$

$$$\int \frac{x e^{x^{2}}}{3}\, dx = \frac{e^{x^{2}}}{6} + C$$$A