$$$\tan{\left(6 x \right)}$$$ 的积分
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求$$$\int \tan{\left(6 x \right)}\, dx$$$。
解答
设$$$u=6 x$$$。
则$$$du=\left(6 x\right)^{\prime }dx = 6 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{6}$$$。
因此，
$${\color{red}{\int{\tan{\left(6 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\tan{\left(u \right)}}{6} d u}}}$$
对 $$$c=\frac{1}{6}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \tan{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{\tan{\left(u \right)}}{6} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\tan{\left(u \right)} d u}}{6}\right)}}$$
将正切表示为 $$$\tan\left( u \right)=\frac{\sin\left( u \right)}{\cos\left( u \right)}$$$:
$$\frac{{\color{red}{\int{\tan{\left(u \right)} d u}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}}{6}$$
设$$$v=\cos{\left(u \right)}$$$。
则$$$dv=\left(\cos{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = - \sin{\left(u \right)} du$$$ (步骤见»)，并有$$$\sin{\left(u \right)} du = - dv$$$。
积分变为
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{v}\right)d v}}}}{6}$$
对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$：
$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{v}\right)d v}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{v} d v}\right)}}}{6}$$
$$$\frac{1}{v}$$$ 的积分为 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:
$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{6} = - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{6}$$
回忆一下 $$$v=\cos{\left(u \right)}$$$:
$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{6} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\cos{\left(u \right)}}}}\right| \right)}}{6}$$
回忆一下 $$$u=6 x$$$:
$$- \frac{\ln{\left(\left|{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}\right| \right)}}{6} = - \frac{\ln{\left(\left|{\cos{\left({\color{red}{\left(6 x\right)}} \right)}}\right| \right)}}{6}$$
因此，
$$\int{\tan{\left(6 x \right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{\cos{\left(6 x \right)}}\right| \right)}}{6}$$
加上积分常数：
$$\int{\tan{\left(6 x \right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{\cos{\left(6 x \right)}}\right| \right)}}{6}+C$$
答案
$$$\int \tan{\left(6 x \right)}\, dx = - \frac{\ln\left(\left|{\cos{\left(6 x \right)}}\right|\right)}{6} + C$$$A