$$$\frac{t}{2 x - 5}$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int \frac{t}{2 x - 5}\, dx$$$。

对 $$$c=t$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{2 x - 5}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{t}{2 x - 5} d x}}} = {\color{red}{t \int{\frac{1}{2 x - 5} d x}}}$$

设$$$u=2 x - 5$$$。

则$$$du=\left(2 x - 5\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{2}$$$。

因此，

$$t {\color{red}{\int{\frac{1}{2 x - 5} d x}}} = t {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$t {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}} = t {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ 的积分为 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\frac{t {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = \frac{t {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

回忆一下 $$$u=2 x - 5$$$:

$$\frac{t \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} = \frac{t \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(2 x - 5\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{t}{2 x - 5} d x} = \frac{t \ln{\left(\left|{2 x - 5}\right| \right)}}{2}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{t}{2 x - 5} d x} = \frac{t \ln{\left(\left|{2 x - 5}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{t}{2 x - 5}\, dx = \frac{t \ln\left(\left|{2 x - 5}\right|\right)}{2} + C$$$A