$$$t \ln\left(t\right)$$$ 的积分

求$$$\int t \ln\left(t\right)\, dt$$$。

对于积分$$$\int{t \ln{\left(t \right)} d t}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(t \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=t dt$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt=\frac{dt}{t}$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{t d t}=\frac{t^{2}}{2}$$$ (步骤见 »)。

积分变为

$${\color{red}{\int{t \ln{\left(t \right)} d t}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(t \right)} \cdot \frac{t^{2}}{2}-\int{\frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{1}{t} d t}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{t^{2} \ln{\left(t \right)}}{2} - \int{\frac{t}{2} d t}\right)}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(t \right)} = t$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$：

$$\frac{t^{2} \ln{\left(t \right)}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{t}{2} d t}}} = \frac{t^{2} \ln{\left(t \right)}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{\int{t d t}}{2}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：

$$\frac{t^{2} \ln{\left(t \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{t d t}}}}{2}=\frac{t^{2} \ln{\left(t \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\frac{t^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{2}=\frac{t^{2} \ln{\left(t \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{t^{2}}{2}\right)}}}{2}$$

因此，

$$\int{t \ln{\left(t \right)} d t} = \frac{t^{2} \ln{\left(t \right)}}{2} - \frac{t^{2}}{4}$$

化简：

$$\int{t \ln{\left(t \right)} d t} = \frac{t^{2} \left(2 \ln{\left(t \right)} - 1\right)}{4}$$

加上积分常数：

$$\int{t \ln{\left(t \right)} d t} = \frac{t^{2} \left(2 \ln{\left(t \right)} - 1\right)}{4}+C$$

$$$\int t \ln\left(t\right)\, dt = \frac{t^{2} \left(2 \ln\left(t\right) - 1\right)}{4} + C$$$A