$$$\sqrt{x - 1}$$$ 的积分

求$$$\int \sqrt{x - 1}\, dx$$$。

设$$$u=x - 1$$$。

则$$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = du$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\sqrt{x - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}$$

应用幂法则 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=\frac{1}{2}$$$：

$${\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}={\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}={\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$

回忆一下 $$$u=x - 1$$$:

$$\frac{2 {\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{\left(x - 1\right)}}^{\frac{3}{2}}}{3}$$

因此，

$$\int{\sqrt{x - 1} d x} = \frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$

加上积分常数：

$$\int{\sqrt{x - 1} d x} = \frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+C$$

$$$\int \sqrt{x - 1}\, dx = \frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + C$$$A