$$$\frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z}\, dz$$$。

设$$$u=2 z$$$。

则$$$du=\left(2 z\right)^{\prime }dz = 2 dz$$$ (步骤见»)，并有$$$dz = \frac{du}{2}$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z} d z}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

该积分（正弦积分）没有闭式表达式：

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}$$

回忆一下 $$$u=2 z$$$:

$$\operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Si}{\left({\color{red}{\left(2 z\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z} d z} = \operatorname{Si}{\left(2 z \right)}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z} d z} = \operatorname{Si}{\left(2 z \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z}\, dz = \operatorname{Si}{\left(2 z \right)} + C$$$A