$$$\sin{\left(2 t - 2 x \right)}$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int \sin{\left(2 t - 2 x \right)}\, dx$$$。

设$$$u=2 t - 2 x$$$。

则$$$du=\left(2 t - 2 x\right)^{\prime }dx = - 2 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = - \frac{du}{2}$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\sin{\left(2 t - 2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\right)d u}}}$$

对 $$$c=- \frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

正弦函数的积分为 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$

回忆一下 $$$u=2 t - 2 x$$$:

$$\frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 t - 2 x\right)}} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\sin{\left(2 t - 2 x \right)} d x} = \frac{\cos{\left(2 t - 2 x \right)}}{2}$$

化简：

$$\int{\sin{\left(2 t - 2 x \right)} d x} = \frac{\cos{\left(2 \left(- t + x\right) \right)}}{2}$$

加上积分常数：

$$\int{\sin{\left(2 t - 2 x \right)} d x} = \frac{\cos{\left(2 \left(- t + x\right) \right)}}{2}+C$$

$$$\int \sin{\left(2 t - 2 x \right)}\, dx = \frac{\cos{\left(2 \left(- t + x\right) \right)}}{2} + C$$$A