$$$\sin{\left(x + y \right)}$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int \sin{\left(x + y \right)}\, dx$$$。

设$$$u=x + y$$$。

则$$$du=\left(x + y\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = du$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\sin{\left(x + y \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}$$

正弦函数的积分为 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

回忆一下 $$$u=x + y$$$:

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{\left(x + y\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{\sin{\left(x + y \right)} d x} = - \cos{\left(x + y \right)}$$

加上积分常数：

$$\int{\sin{\left(x + y \right)} d x} = - \cos{\left(x + y \right)}+C$$

$$$\int \sin{\left(x + y \right)}\, dx = - \cos{\left(x + y \right)} + C$$$A