$$$\ln\left(d\right)$$$ 的积分

求$$$\int \ln\left(d\right)\, dd$$$。

对于积分$$$\int{\ln{\left(d \right)} d d}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(d \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=dd$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(d \right)}\right)^{\prime }dd=\frac{dd}{d}$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d d}=d$$$ (步骤见 »)。

积分变为

$${\color{red}{\int{\ln{\left(d \right)} d d}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(d \right)} \cdot d-\int{d \cdot \frac{1}{d} d d}\right)}}={\color{red}{\left(d \ln{\left(d \right)} - \int{1 d d}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dd = c d$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$d \ln{\left(d \right)} - {\color{red}{\int{1 d d}}} = d \ln{\left(d \right)} - {\color{red}{d}}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(d \right)} d d} = d \ln{\left(d \right)} - d$$

化简：

$$\int{\ln{\left(d \right)} d d} = d \left(\ln{\left(d \right)} - 1\right)$$

加上积分常数：

$$\int{\ln{\left(d \right)} d d} = d \left(\ln{\left(d \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(d\right)\, dd = d \left(\ln\left(d\right) - 1\right) + C$$$A