$$$\ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)$$$ 的积分

求$$$\int \ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)\, dx$$$。

设$$$u=\frac{x}{2} - 1$$$。

则$$$du=\left(\frac{x}{2} - 1\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = 2 du$$$。

积分变为

$${\color{red}{\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \ln{\left(u \right)} d u}}}$$

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{2 \ln{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

对于积分$$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$。

设 $$$\operatorname{g}=\ln{\left(u \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

则 $$$\operatorname{dg}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (步骤见 »)。

因此，

$$2 {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=2 {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=2 {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, du = c u$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$2 u \ln{\left(u \right)} - 2 {\color{red}{\int{1 d u}}} = 2 u \ln{\left(u \right)} - 2 {\color{red}{u}}$$

回忆一下 $$$u=\frac{x}{2} - 1$$$:

$$- 2 {\color{red}{u}} + 2 {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 2 {\color{red}{\left(\frac{x}{2} - 1\right)}} + 2 {\color{red}{\left(\frac{x}{2} - 1\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2} - 1\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x} = - x + 2 \left(\frac{x}{2} - 1\right) \ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} + 2$$

化简：

$$\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x} = - x + \left(x - 2\right) \ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} + 2$$

加上积分常数（并从表达式中去除常数项）：

$$\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x} = - x + \left(x - 2\right) \ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}+C$$

$$$\int \ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)\, dx = \left(- x + \left(x - 2\right) \ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)\right) + C$$$A