$$$\ln\left(u + v\right)$$$ 关于$$$u$$$的积分

求$$$\int \ln\left(u + v\right)\, du$$$。

设$$$w=u + v$$$。

则$$$dw=\left(u + v\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (步骤见»)，并有$$$du = dw$$$。

积分变为

$${\color{red}{\int{\ln{\left(u + v \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\ln{\left(w \right)} d w}}}$$

对于积分$$$\int{\ln{\left(w \right)} d w}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{z} \operatorname{dl} = \operatorname{z}\operatorname{l} - \int \operatorname{l} \operatorname{dz}$$$。

设 $$$\operatorname{z}=\ln{\left(w \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dl}=dw$$$。

则 $$$\operatorname{dz}=\left(\ln{\left(w \right)}\right)^{\prime }dw=\frac{dw}{w}$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{l}=\int{1 d w}=w$$$ (步骤见 »)。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{\ln{\left(w \right)} d w}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(w \right)} \cdot w-\int{w \cdot \frac{1}{w} d w}\right)}}={\color{red}{\left(w \ln{\left(w \right)} - \int{1 d w}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dw = c w$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$w \ln{\left(w \right)} - {\color{red}{\int{1 d w}}} = w \ln{\left(w \right)} - {\color{red}{w}}$$

回忆一下 $$$w=u + v$$$:

$$- {\color{red}{w}} + {\color{red}{w}} \ln{\left({\color{red}{w}} \right)} = - {\color{red}{\left(u + v\right)}} + {\color{red}{\left(u + v\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(u + v\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(u + v \right)} d u} = - u - v + \left(u + v\right) \ln{\left(u + v \right)}$$

化简：

$$\int{\ln{\left(u + v \right)} d u} = \left(u + v\right) \left(\ln{\left(u + v \right)} - 1\right)$$

加上积分常数：

$$\int{\ln{\left(u + v \right)} d u} = \left(u + v\right) \left(\ln{\left(u + v \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(u + v\right)\, du = \left(u + v\right) \left(\ln\left(u + v\right) - 1\right) + C$$$A