$$$\ln\left(2 x^{3}\right)$$$ 的积分

求$$$\int \ln\left(2 x^{3}\right)\, dx$$$。

对于积分$$$\int{\ln{\left(2 x^{3} \right)} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(2 x^{3} \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(2 x^{3} \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{3}{x} dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (步骤见 »)。

因此，

$${\color{red}{\int{\ln{\left(2 x^{3} \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(2 x^{3} \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{3}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \ln{\left(2 x^{3} \right)} - \int{3 d x}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=3$$$：

$$x \ln{\left(2 x^{3} \right)} - {\color{red}{\int{3 d x}}} = x \ln{\left(2 x^{3} \right)} - {\color{red}{\left(3 x\right)}}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(2 x^{3} \right)} d x} = x \ln{\left(2 x^{3} \right)} - 3 x$$

化简：

$$\int{\ln{\left(2 x^{3} \right)} d x} = x \left(3 \ln{\left(x \right)} - 3 + \ln{\left(2 \right)}\right)$$

加上积分常数：

$$\int{\ln{\left(2 x^{3} \right)} d x} = x \left(3 \ln{\left(x \right)} - 3 + \ln{\left(2 \right)}\right)+C$$

$$$\int \ln\left(2 x^{3}\right)\, dx = x \left(3 \ln\left(x\right) - 3 + \ln\left(2\right)\right) + C$$$A