$$$\ln\left(f x\right)$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int \ln\left(f x\right)\, dx$$$。

设$$$u=f x$$$。

则$$$du=\left(f x\right)^{\prime }dx = f dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{f}$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{\ln{\left(f x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{f} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{f}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{f} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}{f}}}$$

对于积分$$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{a} \operatorname{dv} = \operatorname{a}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{da}$$$。

设 $$$\operatorname{a}=\ln{\left(u \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

则 $$$\operatorname{da}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (步骤见 »)。

该积分可以改写为

$$\frac{{\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}}{f}=\frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}}{f}=\frac{{\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}}{f}$$

应用常数法则 $$$\int c\, du = c u$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$\frac{u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{1 d u}}}}{f} = \frac{u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{u}}}{f}$$

回忆一下 $$$u=f x$$$:

$$\frac{- {\color{red}{u}} + {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}{f} = \frac{- {\color{red}{f x}} + {\color{red}{f x}} \ln{\left({\color{red}{f x}} \right)}}{f}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(f x \right)} d x} = \frac{f x \ln{\left(f x \right)} - f x}{f}$$

化简：

$$\int{\ln{\left(f x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(f x \right)} - 1\right)$$

加上积分常数：

$$\int{\ln{\left(f x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(f x \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(f x\right)\, dx = x \left(\ln\left(f x\right) - 1\right) + C$$$A