$$$e - \ln\left(x + 1\right)$$$ 的积分
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求$$$\int \left(e - \ln\left(x + 1\right)\right)\, dx$$$。
解答
逐项积分：
$${\color{red}{\int{\left(e - \ln{\left(x + 1 \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{e d x} - \int{\ln{\left(x + 1 \right)} d x}\right)}}$$
应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=e$$$：
$$- \int{\ln{\left(x + 1 \right)} d x} + {\color{red}{\int{e d x}}} = - \int{\ln{\left(x + 1 \right)} d x} + {\color{red}{e x}}$$
设$$$u=x + 1$$$。
则$$$du=\left(x + 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = du$$$。
该积分可以改写为
$$e x - {\color{red}{\int{\ln{\left(x + 1 \right)} d x}}} = e x - {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}$$
对于积分$$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{\kappa} \operatorname{dv} = \operatorname{\kappa}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\kappa}$$$。
设 $$$\operatorname{\kappa}=\ln{\left(u \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=du$$$。
则 $$$\operatorname{d\kappa}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (步骤见 »)。
所以，
$$e x - {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=e x - {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=e x - {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$
应用常数法则 $$$\int c\, du = c u$$$，使用 $$$c=1$$$：
$$- u \ln{\left(u \right)} + e x + {\color{red}{\int{1 d u}}} = - u \ln{\left(u \right)} + e x + {\color{red}{u}}$$
回忆一下 $$$u=x + 1$$$:
$$e x + {\color{red}{u}} - {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = e x + {\color{red}{\left(x + 1\right)}} - {\color{red}{\left(x + 1\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(x + 1\right)}} \right)}$$
因此，
$$\int{\left(e - \ln{\left(x + 1 \right)}\right)d x} = x + e x - \left(x + 1\right) \ln{\left(x + 1 \right)} + 1$$
加上积分常数（并从表达式中去除常数项）：
$$\int{\left(e - \ln{\left(x + 1 \right)}\right)d x} = x + e x - \left(x + 1\right) \ln{\left(x + 1 \right)}+C$$
答案
$$$\int \left(e - \ln\left(x + 1\right)\right)\, dx = \left(x + e x - \left(x + 1\right) \ln\left(x + 1\right)\right) + C$$$A