$$$\frac{e^{- y}}{y}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy$$$。

设$$$u=- y$$$。

则$$$du=\left(- y\right)^{\prime }dy = - dy$$$ (步骤见»)，并有$$$dy = - du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- y}}{y} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}$$

该积分（指数积分）没有闭式表达式：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

回忆一下 $$$u=- y$$$:

$$\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- y\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)} + C$$$A