$$$e^{- t \left(a + s\right)}$$$ 关于$$$t$$$的积分

求$$$\int e^{- t \left(a + s\right)}\, dt$$$。

设$$$u=- t \left(a + s\right)$$$。

则$$$du=\left(- t \left(a + s\right)\right)^{\prime }dt = - (a + s) dt$$$ (步骤见»)，并有$$$dt = - \frac{du}{a + s}$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a - s} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{- a - s}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a - s} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{- a - s}}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{- a - s} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{- a - s}$$

回忆一下 $$$u=- t \left(a + s\right)$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{- a - s} = \frac{e^{{\color{red}{\left(- t \left(a + s\right)\right)}}}}{- a - s}$$

因此，

$$\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t} = \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{- a - s}$$

化简：

$$\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t} = - \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{a + s}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t} = - \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{a + s}+C$$

$$$\int e^{- t \left(a + s\right)}\, dt = - \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{a + s} + C$$$A