$$$e^{\frac{p^{2}}{4}}$$$ 的积分
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求$$$\int e^{\frac{p^{2}}{4}}\, dp$$$。
解答
设$$$u=\frac{p}{2}$$$。
则$$$du=\left(\frac{p}{2}\right)^{\prime }dp = \frac{dp}{2}$$$ (步骤见»)，并有$$$dp = 2 du$$$。
积分变为
$${\color{red}{\int{e^{\frac{p^{2}}{4}} d p}}} = {\color{red}{\int{2 e^{u^{2}} d u}}}$$
对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$${\color{red}{\int{2 e^{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{u^{2}} d u}\right)}}$$
该积分（虚误差函数）没有闭式表达式：
$$2 {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$
回忆一下 $$$u=\frac{p}{2}$$$:
$$\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\left(\frac{p}{2}\right)}} \right)}$$
因此，
$$\int{e^{\frac{p^{2}}{4}} d p} = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{p}{2} \right)}$$
加上积分常数：
$$\int{e^{\frac{p^{2}}{4}} d p} = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{p}{2} \right)}+C$$
答案
$$$\int e^{\frac{p^{2}}{4}}\, dp = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{p}{2} \right)} + C$$$A