$$$\frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x}\, dx$$$。

设$$$u=x^{6}$$$。

则$$$du=\left(x^{6}\right)^{\prime }dx = 6 x^{5} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$x^{5} dx = \frac{du}{6}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{u}{2}}}{6 u} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{6}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \frac{e^{\frac{u}{2}}}{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{u}{2}}}{6 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{e^{\frac{u}{2}}}{u} d u}}{6}\right)}}$$

设$$$v=\frac{u}{2}$$$。

则$$$dv=\left(\frac{u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{du}{2}$$$ (步骤见»)，并有$$$du = 2 dv$$$。

所以，

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{u}{2}}}{u} d u}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}}}{6}$$

该积分（指数积分）没有闭式表达式：

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(v \right)}}}}{6}$$

回忆一下 $$$v=\frac{u}{2}$$$:

$$\frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{v}} \right)}}{6} = \frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}} \right)}}{6}$$

回忆一下 $$$u=x^{6}$$$:

$$\frac{\operatorname{Ei}{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}{6} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\frac{{\color{red}{x^{6}}}}{2} \right)}}{6}$$

因此，

$$\int{\frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\frac{x^{6}}{2} \right)}}{6}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\frac{x^{6}}{2} \right)}}{6}+C$$

$$$\int \frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x}\, dx = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\frac{x^{6}}{2} \right)}}{6} + C$$$A