$$$e^{\frac{u}{v}}$$$ 关于$$$u$$$的积分

求$$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du$$$。

设$$$w=\frac{u}{v}$$$。

则$$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$ (步骤见»)，并有$$$du = v dw$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{v}} d u}}} = {\color{red}{\int{v e^{w} d w}}}$$

对 $$$c=v$$$ 和 $$$f{\left(w \right)} = e^{w}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$：

$${\color{red}{\int{v e^{w} d w}}} = {\color{red}{v \int{e^{w} d w}}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{w} d w} = e^{w}$$$：

$$v {\color{red}{\int{e^{w} d w}}} = v {\color{red}{e^{w}}}$$

回忆一下 $$$w=\frac{u}{v}$$$:

$$v e^{{\color{red}{w}}} = v e^{{\color{red}{\frac{u}{v}}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du = v e^{\frac{u}{v}} + C$$$A