$$$e^{i a x^{2}}$$$ 关于$$$x$$$的积分
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求$$$\int e^{i a x^{2}}\, dx$$$。
解答
设$$$u=x \sqrt{i a}$$$。
则$$$du=\left(x \sqrt{i a}\right)^{\prime }dx = \sqrt{i a} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{\sqrt{i a}}$$$。
积分变为
$${\color{red}{\int{e^{i a x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{\sqrt{i a}} d u}}}$$
对 $$$c=\frac{1}{\sqrt{i a}}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{\sqrt{i a}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u^{2}} d u}}{\sqrt{i a}}}}$$
该积分（虚误差函数）没有闭式表达式：
$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}}}{\sqrt{i a}} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{\sqrt{i a}}$$
回忆一下 $$$u=x \sqrt{i a}$$$:
$$\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \sqrt{i a}} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{x \sqrt{i a}}} \right)}}{2 \sqrt{i a}}$$
因此，
$$\int{e^{i a x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{i a} \right)}}{2 \sqrt{i a}}$$
加上积分常数：
$$\int{e^{i a x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{i a} \right)}}{2 \sqrt{i a}}+C$$
答案
$$$\int e^{i a x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{i a} \right)}}{2 \sqrt{i a}} + C$$$A