$$$\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}}$$$ 的积分
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求$$$\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}}\, dx$$$。
解答
设$$$u=e^{2 x}$$$。
则$$$du=\left(e^{2 x}\right)^{\prime }dx = 2 e^{2 x} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$e^{2 x} dx = \frac{du}{2}$$$。
积分变为
$${\color{red}{\int{\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sqrt{16 - u^{2}}} d u}}}$$
对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sqrt{16 - u^{2}}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}} d u}}{2}\right)}}$$
设$$$u=4 \sin{\left(v \right)}$$$。
则$$$du=\left(4 \sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = 4 \cos{\left(v \right)} dv$$$（步骤见»）。
此外，可得$$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}$$$。
所以，
$$$\frac{1}{\sqrt{16 - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$
利用恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$：
$$$\frac{1}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{4 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{4 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$
假设$$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$，我们得到如下结果：
$$$\frac{1}{4 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{4 \cos{\left( v \right)}}$$$
所以，
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{1 d v}}}}{2}$$
应用常数法则 $$$\int c\, dv = c v$$$，使用 $$$c=1$$$：
$$\frac{{\color{red}{\int{1 d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{v}}}{2}$$
回忆一下 $$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}$$$:
$$\frac{{\color{red}{v}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}}}}{2}$$
回忆一下 $$$u=e^{2 x}$$$:
$$\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{4} \right)}}{2} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{e^{2 x}}}}{4} \right)}}{2}$$
因此，
$$\int{\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{e^{2 x}}{4} \right)}}{2}$$
加上积分常数：
$$\int{\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{e^{2 x}}{4} \right)}}{2}+C$$
答案
$$$\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}}\, dx = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{e^{2 x}}{4} \right)}}{2} + C$$$A