$$$e^{- \frac{x}{5}}$$$ 的积分

求$$$\int e^{- \frac{x}{5}}\, dx$$$。

设$$$u=- \frac{x}{5}$$$。

则$$$du=\left(- \frac{x}{5}\right)^{\prime }dx = - \frac{dx}{5}$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = - 5 du$$$。

积分变为

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{5}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- 5 e^{u}\right)d u}}}$$

对 $$$c=-5$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- 5 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 5 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- 5 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 5 {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=- \frac{x}{5}$$$:

$$- 5 e^{{\color{red}{u}}} = - 5 e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{5}\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{- \frac{x}{5}} d x} = - 5 e^{- \frac{x}{5}}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{- \frac{x}{5}} d x} = - 5 e^{- \frac{x}{5}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{5}}\, dx = - 5 e^{- \frac{x}{5}} + C$$$A