$$$e^{- a x^{2}}$$$ 关于$$$x$$$的积分
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求$$$\int e^{- a x^{2}}\, dx$$$。
解答
设$$$u=\sqrt{a} x$$$。
则$$$du=\left(\sqrt{a} x\right)^{\prime }dx = \sqrt{a} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{\sqrt{a}}$$$。
该积分可以改写为
$${\color{red}{\int{e^{- a x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{- u^{2}}}{\sqrt{a}} d u}}}$$
对 $$$c=\frac{1}{\sqrt{a}}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{e^{- u^{2}}}{\sqrt{a}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{- u^{2}} d u}}{\sqrt{a}}}}$$
该积分（误差函数）没有闭式表达式：
$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}}}{\sqrt{a}} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{\sqrt{a}}$$
回忆一下 $$$u=\sqrt{a} x$$$:
$$\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{\sqrt{a} x}} \right)}}{2 \sqrt{a}}$$
因此，
$$\int{e^{- a x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{a} x \right)}}{2 \sqrt{a}}$$
加上积分常数：
$$\int{e^{- a x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{a} x \right)}}{2 \sqrt{a}}+C$$
答案
$$$\int e^{- a x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{a} x \right)}}{2 \sqrt{a}} + C$$$A