$$$\frac{x - 2}{\sqrt{x - 1}}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{x - 2}{\sqrt{x - 1}}\, dx$$$。

将分子重写为 $$$x - 2=\left(x - 1\right) - 1$$$，并将分式拆分:

$${\color{red}{\int{\frac{x - 2}{\sqrt{x - 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\sqrt{x - 1} - \frac{1}{\sqrt{x - 1}}\right)d x}}}$$

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(\sqrt{x - 1} - \frac{1}{\sqrt{x - 1}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{\sqrt{x - 1}} d x} + \int{\sqrt{x - 1} d x}\right)}}$$

设$$$u=x - 1$$$。

则$$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = du$$$。

该积分可以改写为

$$- \int{\frac{1}{\sqrt{x - 1}} d x} + {\color{red}{\int{\sqrt{x - 1} d x}}} = - \int{\frac{1}{\sqrt{x - 1}} d x} + {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}$$

应用幂法则 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=\frac{1}{2}$$$：

$$- \int{\frac{1}{\sqrt{x - 1}} d x} + {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}=- \int{\frac{1}{\sqrt{x - 1}} d x} + {\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}=- \int{\frac{1}{\sqrt{x - 1}} d x} + {\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}=- \int{\frac{1}{\sqrt{x - 1}} d x} + {\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$

回忆一下 $$$u=x - 1$$$:

$$- \int{\frac{1}{\sqrt{x - 1}} d x} + \frac{2 {\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}}}{3} = - \int{\frac{1}{\sqrt{x - 1}} d x} + \frac{2 {\color{red}{\left(x - 1\right)}}^{\frac{3}{2}}}{3}$$

设$$$u=x - 1$$$。

则$$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = du$$$。

因此，

$$\frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x - 1}} d x}}} = \frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}$$

应用幂法则 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=- \frac{1}{2}$$$：

$$\frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}=\frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - {\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}=\frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - {\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}=\frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - {\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}=\frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - {\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}$$

回忆一下 $$$u=x - 1$$$:

$$\frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{{\color{red}{u}}} = \frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{{\color{red}{\left(x - 1\right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{x - 2}{\sqrt{x - 1}} d x} = \frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x - 1}$$

化简：

$$\int{\frac{x - 2}{\sqrt{x - 1}} d x} = \frac{2 \left(x - 4\right) \sqrt{x - 1}}{3}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{x - 2}{\sqrt{x - 1}} d x} = \frac{2 \left(x - 4\right) \sqrt{x - 1}}{3}+C$$

$$$\int \frac{x - 2}{\sqrt{x - 1}}\, dx = \frac{2 \left(x - 4\right) \sqrt{x - 1}}{3} + C$$$A