$$$\frac{1}{\sqrt[3]{x - 2}}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x - 2}}\, dx$$$。

设$$$u=x - 2$$$。

则$$$du=\left(x - 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = du$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt[3]{x - 2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u}}}$$

应用幂法则 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=- \frac{1}{3}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u}}}={\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{3}} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{3} + 1}}{- \frac{1}{3} + 1}}}={\color{red}{\left(\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}\right)}}$$

回忆一下 $$$u=x - 2$$$:

$$\frac{3 {\color{red}{u}}^{\frac{2}{3}}}{2} = \frac{3 {\color{red}{\left(x - 2\right)}}^{\frac{2}{3}}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\sqrt[3]{x - 2}} d x} = \frac{3 \left(x - 2\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{1}{\sqrt[3]{x - 2}} d x} = \frac{3 \left(x - 2\right)^{\frac{2}{3}}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x - 2}}\, dx = \frac{3 \left(x - 2\right)^{\frac{2}{3}}}{2} + C$$$A