$$$\cos{\left(\sqrt{x} \right)}$$$ 的积分

求$$$\int \cos{\left(\sqrt{x} \right)}\, dx$$$。

设$$$u=\sqrt{x}$$$。

则$$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\sqrt{x} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{2 u \cos{\left(u \right)} d u}}}$$

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = u \cos{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{2 u \cos{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{u \cos{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

对于积分$$$\int{u \cos{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$。

设 $$$\operatorname{g}=u$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(u \right)} du$$$。

则 $$$\operatorname{dg}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(u \right)} d u}=\sin{\left(u \right)}$$$ (步骤见 »)。

因此，

$$2 {\color{red}{\int{u \cos{\left(u \right)} d u}}}=2 {\color{red}{\left(u \cdot \sin{\left(u \right)}-\int{\sin{\left(u \right)} \cdot 1 d u}\right)}}=2 {\color{red}{\left(u \sin{\left(u \right)} - \int{\sin{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

正弦函数的积分为 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$2 u \sin{\left(u \right)} - 2 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = 2 u \sin{\left(u \right)} - 2 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

回忆一下 $$$u=\sqrt{x}$$$:

$$2 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} + 2 {\color{red}{u}} \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = 2 \cos{\left({\color{red}{\sqrt{x}}} \right)} + 2 {\color{red}{\sqrt{x}}} \sin{\left({\color{red}{\sqrt{x}}} \right)}$$

因此，

$$\int{\cos{\left(\sqrt{x} \right)} d x} = 2 \sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + 2 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$$

化简：

$$\int{\cos{\left(\sqrt{x} \right)} d x} = 2 \left(\sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + \cos{\left(\sqrt{x} \right)}\right)$$

加上积分常数：

$$\int{\cos{\left(\sqrt{x} \right)} d x} = 2 \left(\sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + \cos{\left(\sqrt{x} \right)}\right)+C$$

$$$\int \cos{\left(\sqrt{x} \right)}\, dx = 2 \left(\sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + \cos{\left(\sqrt{x} \right)}\right) + C$$$A