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$$$5 x^{3} - x^{2}$$$ 的积分
您的输入
求$$$\int \left(5 x^{3} - x^{2}\right)\, dx$$$。
解答
逐项积分：
$${\color{red}{\int{\left(5 x^{3} - x^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{x^{2} d x} + \int{5 x^{3} d x}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=2$$$：
$$\int{5 x^{3} d x} - {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=\int{5 x^{3} d x} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\int{5 x^{3} d x} - {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$
对 $$$c=5$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：
$$- \frac{x^{3}}{3} + {\color{red}{\int{5 x^{3} d x}}} = - \frac{x^{3}}{3} + {\color{red}{\left(5 \int{x^{3} d x}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=3$$$：
$$- \frac{x^{3}}{3} + 5 {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=- \frac{x^{3}}{3} + 5 {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=- \frac{x^{3}}{3} + 5 {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$
因此，
$$\int{\left(5 x^{3} - x^{2}\right)d x} = \frac{5 x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3}$$
化简：
$$\int{\left(5 x^{3} - x^{2}\right)d x} = \frac{x^{3} \left(15 x - 4\right)}{12}$$
加上积分常数：
$$\int{\left(5 x^{3} - x^{2}\right)d x} = \frac{x^{3} \left(15 x - 4\right)}{12}+C$$
答案
$$$\int \left(5 x^{3} - x^{2}\right)\, dx = \frac{x^{3} \left(15 x - 4\right)}{12} + C$$$A