$$$4 y e^{- y^{2}}$$$ 的积分

求$$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy$$$。

设$$$u=- y^{2}$$$。

则$$$du=\left(- y^{2}\right)^{\prime }dy = - 2 y dy$$$ (步骤见»)，并有$$$y dy = - \frac{du}{2}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{4 y e^{- y^{2}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

对 $$$c=-2$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=- y^{2}$$$:

$$- 2 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 e^{{\color{red}{\left(- y^{2}\right)}}}$$

因此，

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}$$

加上积分常数：

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}+C$$

$$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy = - 2 e^{- y^{2}} + C$$$A