$$$4 e^{2 x}$$$ 的积分

求$$$\int 4 e^{2 x}\, dx$$$。

对 $$$c=4$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{2 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{4 e^{2 x} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{e^{2 x} d x}\right)}}$$

设$$$u=2 x$$$。

则$$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{2}$$$。

该积分可以改写为

$$4 {\color{red}{\int{e^{2 x} d x}}} = 4 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$4 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}} = 4 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=2 x$$$:

$$2 e^{{\color{red}{u}}} = 2 e^{{\color{red}{\left(2 x\right)}}}$$

因此，

$$\int{4 e^{2 x} d x} = 2 e^{2 x}$$

加上积分常数：

$$\int{4 e^{2 x} d x} = 2 e^{2 x}+C$$

$$$\int 4 e^{2 x}\, dx = 2 e^{2 x} + C$$$A